Problemer med årtusindprisen

En del af en
konvergent serie på

Matematik
Ikon math.svg
1 + 1 = 11
  • En mekanistisk og håndbølget afledning af den omvendte firkantede lov fra de første principper
  • Bayesian
  • Bonferronis princip
  • Otte
  • Isaac Newton
  • Matematiske fejl
  • Tal
  • Paradoks
  • Bevis for, at aritmetik er inkonsekvent
  • Theresisk matematik
  • Tom lærer
  • Nul

Det Problemer med årtusindprisen er et sæt af syv problemer i matematik der blev anført af Clay Mathematics Institute i 2000. En korrekt løsning på ethvert af problemerne resulterer i en præmie på $ 1.000.000 (populært kendt i matematikverdenen som enMillennium-prisen) tildeles af instituttet. The Clay Mathematics Institute, eller CMI, er en privat nonprofitorganisation, der er baseret i Providence, Rhode Island .


Fra og med 2015 forbliver seks af problemerne uløste. Poincaré-formodningen er det eneste problem, der skal løses, med en løsning offentliggjort af Grigori Perelman i 2003. Perelman blev også tildelt Fields-medaljen (ofte kaldet 'Nobelprisen for matematik'), men han afviste begge priser og sagde 'Jeg don 'vil ikke være udstillet som et dyr i en zoologisk have.' Han følte lige kredit var fortjent af andre matematikere som Richard Hamilton, hvis metoder han byggede på.

Listen over problemer hentede inspiration fra Hilbert problemer , en liste over 23 problemer præsenteret af den tyske matematiker David Hilbert i 1900. Millenniumprisproblemerne blev præsenteret i Paris i 2000 i nedenstående rækkefølge. Et af Hilberts oprindelige problemer, Riemann-hypotesen, er på den nye liste, og en anden, formodningen Birch og Swinnerton-Dyer, følger direkte op på løsningen af ​​det tiende Hilbert-problem.


Så spændende som tanken om at vinde en million dollars kan være, hvis dette er første gang du hører om Millennium-priserne, så er der en ret stor chance for, at du ikke har de 10-15 år med formel matematik, der studerer dig ' d sandsynligvis nødt til selv at komme i gang med at løse en af ​​disse.

Indhold

P versus NP,

'P versus NP' er et (meget 20. århundrede) problem, der opstod fra datalogi. Problemet blev introduceret i 1971 af Stephen Cook i sin artikel 'The complexity of theorem proving procedures' og anses af mange for at være det vigtigste åbne problem inden for datalogi.

For at forstå spørgsmålet, er det åbenbart nødvendigt at vide hvad P og For eksempel faktisk henvise til. Begge beskriver algoritmer (gentagne processer), som til sidst når frem til en konklusion af en eller anden form.



Overvej først et computerprogram, der er i stand til at 'verificere' et svar på et givet problem. Antag for eksempel, at problemet er:'Fra en liste med en million tilfældigt valgte numre, find en liste med 1000 numre, der tilsammen udgør nøjagtigt en million'. Hvis du går gennem listen og vælger det påkrævede delsæt på 1000 numre, vil programmet let være i stand til at kontrollere, om din liste tilføjer op til en million eller ikke (ved hjælp af simpel aritmetik). Der er en lineær sammenhæng mellem antallet af medlemmer i sættet (1000) og antallet af trin, der kræves for at løse problemet (1000 individuelle tilføjelser). Et lineært forhold kaldes et 'polynomisk' forhold, så vi kalder disse 'svarbekræftelsesprogrammer' P .


Overvej nu i første omgang opgaven med at vælge den krævede delmængde på 1000 numre. I øjeblikket er der ingen kendt måde til hurtigt at vælge alle mulige undersæt; den eneste måde at gøre det på er gennem ren brutskraft (dvs. at teste enhver mulig kombination, hvoraf der er 2-1 muligheder). Hvis du tilføjer et andet medlem til delsættet, stiger antallet af løsninger fra 2 til 2, hvilket er eksponentiel eller 'ikke-polynomisk' vækst. Vi kalder dette 'problemløsningsprogram' For eksempel .

P versus NP-problemet spørger, er der en eller anden måde at komme med en smidig måde at skrive 'problemløsning' programmer på, så vi altid kan undgå denne 'ikke-polynomiske' vækst? Med andre ord, kan der være et program, der løser problemet i samme polynomiale tid som verifikationsprogrammet? Hvis svaret er 'ja', så operatorname {Hdg} ^ k (X) = H ^ {2k} (X,  mathbf {Q})  cap H ^ {k, k} (X).. Hvis svaret er 'nej', så


Dette er vigtigt, fordi hvisså er der et eller andet sted i 'matematikland' en hurtig og effektiv måde at knække de fleste krypteringssystemer i øjeblikket i brug, herunder når du går til sikre websteder som din banks. Dette betragtes generelt som en 'dårlig ting'. På plussiden er de fleste matematikere helt sikre på det. Problemet er, at ingen ved, hvordan man beviser det endnu.

Hodge-formodningen

Nogle af årtusindproblemerne udfordrer let beskrivelse, og dette er et af dem.

Den officielle erklæring om dette problem er som følger:Hodge-formodningen hævder, at stykker kaldet Hodge-cykler faktisk er (rationelle lineære) kombinationer af geometriske stykker kaldet algebraiske cyklusser for særligt pæne typer rum kaldet projektive algebraiske sorter..

I matematikjargon er dette:


Så dybest set, medmindre du allerede ved, hvad en projektiv kompleks manifold er, og hvad kohomologi betyder, er der ingen måde, du nogensinde vil forstå, hvad dette problem engang handler om.

Uanset hvad, så lad os vide, når du har løst det.

Poincaré-formodningen (løst)

Hvordan topologi kan gøre en kaffekop til en doughnut (torus) og tilbage.

Poincare-formodningen var en vigtig formodning inden for topologi, selv om dens betydning ikke var tydelig på det tidspunkt, den blev foreslået. (Som det er bevist, er det nu teknisk setning.)

Topologi er matematik for deformation; det betragter overflader uafhængigt af deres dimensioner. Derfor kaldes topologer sjovt'folk der ikke kan se forskel på en kaffekop og en doughnut'(fordi begge er en kontinuerlig genstand med et enkelt hul i strukturen - se billede).

Poincaré-formodningen involverer et krav om objekter i multidimensionelt rum, og om (under visse betingelser) objektet kan deformeres til en sfære. Poincaré mente, at det var sandt, da han erklærede det i 1904. Det blev ikke betragtet som en særlig vigtig formodning på det tidspunkt, men efterfølgende erhvervede det stor berygtelse, fordi flere gange i det 20. århundrede ville hævde, at de havde løst problemet , kun for senere at finde en fejl.

I 1980'erne var alle forsøg på at løse problemet stadig mislykkedes, men havde vist, at problemet havde vigtige implikationer inden for andre områder af topologi, som Poincaré aldrig havde drømt om. Derfor gik det fra at være en uklar kommentar i et papir fra 1904 til et stort område af matematisk forskning.

Den endelige løsning blev offentliggjort online til arXiv i 2003 af en russisk matematiker ved navn Grigori Perelman. Efter tre års intens kontrol blev hans bevis accepteret som endeligt i 2006. Hvordan Perelman udviklede sin tænkning er et mysterium, da han nægter at tale med nogen, og der er spekulationer om, at han måske er ophørt med at gøre matematik helt. Han blev tildelt Fields Medal i 2006 og tildelte officielt Millenniumprisen i 2010, men han nægtede at acceptere begge dele.

Riemann-hypotesen

Riemann-hypotesen var det ottende problem på Hilberts liste tilbage i 1900, og det betragtes stadig som et vigtigt uløst problem et århundrede senere. Det er det eneste problem, der vises på begge lister.

Et bevis eller manglende sikkerhed for dette ville have vidtrækkende implikationer i talteorien, især for fordelingen af ​​primtal. Det indebærer også stærke grænser for væksten af ​​mange andre aritmetiske funktioner.

Riemann-hypotesen vedrører egenskaberne ved en matematisk funktion, Riemann zeta-funktionen. Formodningen hævder, at alle ikke-små nuller i den analytiske fortsættelse af Riemann zeta-funktionen har en reel del af 1/2.

Yang – Mills eksistens og massegab

Yang – Mills-problemet er ikke så meget et problem i matematik, da det er et åbent emne i matematisk fysik.

Det er rimeligt at sige, at det er virkelig kompliceret. Virkelig, virkelig kompliceret. Uanset hvad her går et forsøg på en grundlæggende forklaring.

Vi har kvantefysik, som i 1960'erne udviklede sig til Standard model , og i 1980'erne var dette blevet raffineret til at inkorporere kvantefeltteori (QFT). Et aspekt af QFT er eksistensen af ​​målerpartikler, der bevæger sig frem og tilbage mellem andre partikler, hvilket skaber det, vi kalder 'kraft'.

Den mest accepterede teoretiske ramme til forklaring af QFT kaldes Yang-Mills teori, og (blandt mange andre ting) forudsiger det, at de letteste målepartikler stadig vil have masse. Alt eksperimentelt bevis synes at være enig i dette. (For at hjælpe dig med at forstå navngivningen af ​​problemet kaldes forskellen mellem vakuumets energi og den letteste partikel 'massegabet'.)

Selvom dette er godt og godt, er vi stadig langt fra at kunne fastslå, hvad der lige sker. Problemet med QFT er, at det hele sker i fire (eller flere) dimensioner, og der er snesevis af forskellige enheder involveret, så ærligt talt er alle bare lidt forvirrede. Til en analogi er vi på det tidspunkt, hvor vi ved, hvis vi fyrer en katapult, kuglen vil lande 'derovre et sted', men vi kender endnu ikke beregning, og vi er derfor ikke i stand til at forudsige nøjagtigt bolden ender.

Så at løse dette vil være kvanteteoriækvivalenten med at udvikle beregning. Løsningen skal også forudsige, at de letteste partikler har masse.

Navier – Stokes eksistens og glathed

Af de syv Millennium-prisproblemer har dette de mest praktiske anvendelser, især til løsning af spørgsmålet om flydende turbulens.

Navier – Stokes ligningerne blev udviklet i det 19. århundrede og beskriver væskernes bevægelse. De er enormt vigtige inden for mange områder inden for ingeniørvidenskab og anvendt videnskab, da både luft og vand er væsker. Luft bevæger sig over en vinge? Vand bevæger sig gennem rør? Havstrømme? Vejrmønstre? Du kan anvende Navier-Stokes-ligningerne til at analysere disse fænomener matematisk. På trods af at de har eksisteret i nogen tid, er de stadig dårligt forståede. Problemet er at gøre fremskridt mod en matematisk teori, der giver indsigt i disse ligninger.

Den officielle definition af problemet er:Bevis eller giv et modeksempel på følgende udsagn: I tre rumdimensioner og tid, givet et indledende hastighedsfelt, findes der en vektorhastighed og et skalartrykfelt, som både er glatte og globalt definerede, der løser Navier – Stokes ligninger.

Formodningen Birch og Swinnerton-Dyer

Birch og Swinnerton-Dyer formodninger har også en lang historie. Hilberts tiende problem drejede sig om en mere generel form for ligning, og i så fald blev det bevist, at der ikke er nogen måde at afgøre, om en given ligning endda har nogen løsninger.

Dette problem beskæftiger sig med en bestemt type ligning, dem der definerer elliptiske kurver over de rationelle tal. Formodningen er, at der er en proceduremæssig måde at bestemme, om sådanne ligninger har et endeligt eller uendeligt antal rationelle løsninger.